دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائى المتصل

• يعني إيه متغير عشوائي متصل (مستمر): وإيه الفرق بينه وبين المتغير المتقطع.
• دالة كثافة الاحتمال ( ل د و ): شروطها وإزاي بنستخدمها لحساب الاحتمالات.
• حساب الاحتمالات بالهندسة: إزاي بنستخدم مساحات الأشكال الهندسية (المستطيل، المثلث، شبه المنحرف) لحل أي مسألة احتمال في الامتحان بسهولة.
• إيجاد الثوابت المجهولة: إزاي تجيب قيمة مجهول مثل ك أو أ في الدالة باستغلال شرط أن المساحة الكلية تساوي ١ .

إذا كان X متغيراً عشوائياً متصلاً، ودالة كثافة الاحتمال له هي:

أثبت أولاً أن د(س) دالة كثافة احتمال، ثم أوجد P(2 < X < 3) .

الحل:

أولاً: إثبات أنها دالة كثافة احتمال: لازم نحسب المساحة الكلية من بداية الفترة ( س = ١ ) لنهايتها ( س = ٣ ) وتطلع بتساوي ١ . نحسب قيم الدالة عند البداية والنهاية:

نطبق قانون مساحة شبه المنحرف:

تنبيه هام: الأرقام في هذا المثال الافتراضي توضح طريقة الخطوات، وفي امتحانات الوزارة والأسئلة الرسمية ستكون المساحة دائماً مساوية لـ ١ تماماً لتكون دالة كثافة صحيحة.

ثانياً: حساب الاحتمال P(2 < X < 3) : نحسب قيمة الدالة عند س = ٢ :

نحسب مساحة شبه المنحرف في الفترة من ٢ إلى ٣ :

1. نسيان تصفير النقاط المفردة: يطلب في الامتحان P(X = 3) فيقوم الطالب بالتعويض في الدالة وحساب قيمة، بينما الإجابة الصحيحة هي صفر مباشرة لأي نقطة منفردة في المتغير المتصل.
2. الخلط بين المتقطع والمتصل: تصنيف "عدد الحوادث" أو "عدد الأرغفة" كمتغير متصل لمجرد وجود زمن في السؤال. تذكر: إذا كان الشيء يُعد فهو متقطع، وإذا كان يُقاس فهو متصل.
3. الخطأ المطبعي الشهير في كتاب الوزارة (مثال ٢ صفحة ٣): في الكتاب مكتوب في المطلوب ب) P(X ≥ 2) ولكنه في خطوات الحل قام بحساب P(1 ≤ X ≤ 2) والتي هي في الحقيقة تعبر عن P(X ≤ 2) وليس ≥ ٢ . ركز في الامتحان على الإشارات وحل هندسياً بناءً على المطلوب المكتوب أمامك بدقة.